MINT: Von Invarianten und paradoxen Puzzles – Mathe-LemaS
Probleme bei der Chamäleonzucht, Drachentöten, paradoxe Geometriepuzzles und Umfüllprobleme: anhand dieser Beispiele präsentierten nun die fünf Teilnehmer des Mathe-LemaS-Kurses, der in diesem Halbjahr erstmalig stattfand, ihren Mitschülern aus den Jgst. 6 bis 8 vier Stunden lang verschiedene mathematische Beweistechniken.
Eine wichtige davon ist das Suchen nach Invarianten. Dies ist insbesondere bei solchen Problemen lohnenswert, bei denen (ganz allgemein formuliert) die Ausgangssituation vermöge vorgegebener Transformation schrittweise verändert werden kann und sich die Frage stellt, ob auf diese Weise ein bestimmter Endzustand erreichbar ist. Während man dies bei positiver Antwort direkt dadurch beweisen kann, dass man die erforderlichen Transformationen konkret angibt, kann man sich bei mangelndem Erfolg niemals sicher sein – vielleicht war man bisher einfach nur zu ungeschickt, um die Lösung zu finden. Hat man jedoch eine Invariante des Problems identifiziert, deren Wert zu Beginn anders ist als sie es am Ende wäre, hat man damit die Unmöglichkeit bewiesen.
Ein weiterer im LemaS-Kurs behandelter Themenkomplex waren geometrische Beweise. Allzu leicht lässt man sich nämlich naiverweise anhand von Zeichnungen der Problemstellung in die Irre führen, gewisse Sachverhalte seien “offensichtlich” so und nicht anders beschaffen. Die präzise Sprache der Mathematik bietet allerdings dem geschulten Geist etliche Werkzeuge, die solche Fallstricke vermeiden helfen. Der ungarische Mathematiker George Polyá drückte dies einmal so aus: “Geometrie ist die Wissenschaft von korrekter Beweisführung anhand falscher Figuren.”
Schließlich gab es noch einen kurzen Einblick in die Methode, ein zunächst schwieriges mathematisches Problem dadurch zu lösen, dass man es in ein anderes Teilgebiet “übersetzt” (etwa von der Zahlentheorie in die Geometrie), in dem auf einmal die Lösung auf der Hand liegt. Viele bahnbrechende Fortschritte der Mathematik in den letzten Jahren beruhen auf solchen Darstellungswechseln.
Während der Präsentation war durchweg zu beobachten, wie das von den LemaS-SchülerInnen erstellte Material zum konkreten Ausprobieren die Besucher sofort in den Bann der mathematischen Probleme zog. Die Mehrzahl verließ den Raum dann auch freiwilllig nicht eher wieder, bis die Lösung nachvollzogen war. Ein schöne Bestätigung für die LemaS-SchülerInnen am Ende dieses Kurses!
